为什么传奇的埃尔德什问题正被人工智能攻克

为什么传奇的 Erdős 问题正被 AI 攻克

AI 在数学上最伟大的成功，来自对一位 20 世纪中叶反传统偶像所提出问题的解答。通过审视 Erdős 问题的独特之处，数学家们正试图理解 AI 可能如何改变数学的其余部分。

2026 年 5 月 20 日，OpenAI 发布了一项震动数学界的公告。一个内部 AI 模型——一个未向公众开放的模型——想出了“单位距离”问题的一个反例，这是 Paul Erdős 于 1946 年提出的一个猜想。Erdős 是那位多产、四处漂泊的匈牙利数学家。

Erdős 提出了数千个问题，但这一个很特别：它既易于解释，又在数学上极为深刻。这是历史上第一个来自 AI 模型的具有重要意义的证明。尽管该模型的结果并非定论——人类数学家将在数周内大幅改进它——但它具有创新性，引入了来自数学一个遥远分支的想法，此前从未有人成功将这些想法应用于这一问题。而且它颇具影响力：几天之内，相关技术就被用来解决其他重要问题。

随后在 8 月 1 日，OpenAI 宣布，一个名为 Astra 的未发布模型取得了 10 项额外的数学进展，包括为 Erdős 提出的另外三个问题找到了解答。

许多数学家将这类进展誉为 AI 模型数学能力的一次相变。普林斯顿大学的诺加·阿隆表示，这些模型“正在戏剧性地改变数学研究的方式”。在他数十年的职业生涯中，他已解决了数十个 Erdős 问题。

Erdős 和他的猜想长期以来一直令数学家们着迷。他不停地四处奔波——一次就提着行李箱生活数年，寄住在朋友家中，几乎一无所有。他在发表的论文和写给世界各地数学家的信件中接连抛出一个又一个问题，常常附上奖金，由他自掏腰包支付给第一个给出解答的人。赏金可能只是象征性的 10 美元或 25 美元，而对于他认为重要或困难的问题，则可能高达数千美元。Erdős 于 1996 年在华沙参加一场数学会议时因心脏病发作去世，但位于爱荷华州的一家非营利基金会已承诺兑现他的悬赏。

他是一个深受爱戴的人物，但也是一个十足古怪的人。他只穿丝绸衣服，而且避免与他人有身体接触。他对权威极度不屑，把自己挣来的大部分钱都送了出去，依靠一位朋友来管理他的财务和其他实际事务。他把上帝称为“最高法西斯”，并以持续服用安非他命来支撑自己源源不断地产出数学想法。历史的一个奇特讽刺是，他提出的那些问题如今已成为全球最大、最强大的科技公司的核心试验场——实际上，也成了一连串公关上的胜利。

但几乎可以肯定，如果不是因为一位名叫Thomas Bloom的英国数学家，这一切都不会发生。

多次会面

和 Erdős 一样，Bloom 对数论和组合数学都感兴趣。他的研究重点是一个叫做算术组合学的领域，它位于两者的交叉点。2014 年获得博士学位后，Bloom 确立了自己在该领域冉冉升起的新星地位，并获得了英国皇家学会颁发的一项享有盛誉的奖学金，这让他几乎可以去任何他想去的大学工作。（他现在在曼彻斯特大学。）

Bloom 从记事起就一直喜欢 Erdős 的风格。但他总是很难搞清楚哪些问题已经被解决，哪些已经被彻底遗忘。于是在 2023 年初，他决定尽可能多地把问题收集到一份清单中。

他本来只是打算自己用。但“我觉得如果无论我在哪里都能访问它会更方便，”他说；他想自己“倒不如做个网站，心里多少也预期大概没人会用。”他收集了几百个问题，并上线了 erdosproblems.com。Bloom 用 ChatGPT 编写了运行该网站的 Python 代码，这在当时对于一个大语言模型来说是一件了不起的事。而用大语言模型来协作研究数学本身，当时似乎仍然只是遥远的可能。

他的目标不只是把清单上的条目一一划掉。他在一篇博客文章中写道，他想知道“现代数学——往往使用 Erdős 所不了解的技术——能否厘清其中许多更为冷僻的问题”。“到那时，我们剩下的将是一批有趣而困难的核心问题，它们可以用来展示我们知识的边界。”

Bloom 在整理这份清单方面做了至关重要的工作：有时 Erdős 陈述问题的方式含糊不清，Bloom 便弄清楚每个问题最合理的版本应该是什么。他不断向网站添加问题，其受众也逐渐增长。在 2024 年全年以及 2025 年前八个月里，清单上有 111 个问题的状态从“未解决”变为“已解决”（尽管其中一些早在数年前就已解决，其状态变更反映的是证明被重新发现或得到验证）。

然后，在 2025 年 8 月，一些同事建议 Bloom 添加评论功能，以便人们可以讨论自己感兴趣的问题。他借助 ChatGPT 编写代码，很快就做到了。此时他已编目了近 1000 个问题。

Bloom 的时机恰到好处。他让志同道合的人能够彼此交流，而这“真正促成了一个社区的形成”，他说。大多数情况下，评论是零星的——一个问题可能只会引来一条评论，指出一个例子或说明这个问题看起来有多难。但活跃度稳步增长，有些问题还促成了陌生人之间细致入微的数学讨论。

“Tom 可能从未真正意识到这一点，但对我来说，这确实改变了我的人生，”Wouter van Doorn 说道，他是 Bloom 网站上评论数第四多的用户。和许多在 2025 年秋季开始活跃于该网站的人一样，van Doorn 并不算是专业数学家。用他的话说，他“在一家被其他公司雇佣来做客户支持的公司”工作。但他也不完全是业余爱好者——十年前，他几乎在比利时 KU Leuven 完成了数学硕士学位。2024 年，部分因为看到 LLM 变得如此强大，他请了六个月的假专注于数学。当时，虽然他并不特别想使用 AI，但他记得自己想过：“现在我在数学上仍然比 AI 强，但谁知道一年、两年、五年后会怎样？如果我想完成这些项目，并且想让它们属于我自己，现在就是时候。”

于是，在 2025 年 10 月，如今已回归日常工作的 van Doorn 在问题 1102的页面上留下了第一条评论。这个问题由 Erdős 于 1981 年提出，探讨的是“无平方因子”整数集合的性质——即没有重复质因数的整数。（例如，30 是无平方因子的，因为它等于 2 × 3 × 5，但 18 不是，因为它等于 2 × 3 × 3；其中 3 重复了。）

11 月初，van Doorn 在该问题的页面上以评论形式分享了向答案推进的进展——这是他未依赖 AI 独自得出的。

当天晚些时候，该网站上的另一位评论者回复了他，声称在 van Doorn 的论证中发现了一个漏洞。两人你来我往、快速交锋，最终 van Doorn 让他的对话者相信自己的论证是正确的。“我现在明白你的论证是怎么成立的了。漂亮！”那位数学家回复道。那位数学家正是陶哲轩（Terence Tao），加州大学洛杉矶分校教授，可以说是当今在世最知名的数学家，也毫无疑问是影响力最大的数学家之一。（并非偶然的是，陶哲轩年仅 10 岁时，就曾与 Erdős 有过交集。）

Bloom 的网站带有一种旧日时光的观感与气质，正逐渐成为互联网民主化最佳状态的典范。“如果没有 Tom 的网站和那里的评论区，整个合作根本不可能实现，”van Doorn 说。你有没有终身教职并不重要，你是年轻还是年长并不重要，你是在一所名牌大学，甚至是否在大学里，都不重要。如果你想研究数学并且有好想法，你就能找到合作的人。

但随着冬季来临——大约就在 van Doorn 发现自己与陶哲轩展开合作的同时——事情开始发生变化。

通往十字路口之旅

Kevin Barreto 和 Liam Price 都二十出头，2025 年夏天在一个专门讨论 AI 的 Discord 服务器上成了朋友。Barreto 目前是剑桥大学的本科生；Price 在大学里学过一些数学，但没读完就离开了。去年 12 月，两人确信最新的 AI 模型或许能解决一些 Erdős 问题，于是开始把一批批问题扔给它们。他们很快就意识到，如果告诉 GPT-5.2 某个问题的答案尚属未知，它就不会有多大进展，所以用 Barreto 的话说，他们学会了如何“以一种非常特别的方式给它写提示词，PUA 它，让它以为这个问题比实际上要简单。”

他们以为自己迎来了第一个胜利，那就是 Erdős 问题 333。圣诞节清晨，Barreto 在 Bloom 的网站上贴出了一份证明，并写道：“据我们所知，我们相信这是 LLM 首次完全自主地解决一个此前未被人类解决的 Erdős 问题。”尽管 333 涉及整数集合的求和，并不是一个特别重要的问题，但用 AI 解决它仍然让人觉得很了不起。

但几个小时后，另一位用户指出，Erdős 本人早在 1977 年发表的一篇论文中就已经给出了 333 的解答。Barreto 承认了自己的错误。“我正式请求网站所有成员，对目前标记为未解决的问题投入更多精力做文献检索，”他写道。“作为一个已经两次栽在这上面的人，这真的让人很难受。”

他没有气馁，和 Price 继续坚持，到 2026 年 1 月 4 日，他们用 GPT-5.2 Pro 找到了 Erdős 728 的一个解，这道题问的是某些数何时能被其他数整除。这一次，没有人能找到已经证明过它的先前工作。Barreto 使用另一款名为 Aristotle 的 AI 工具（由一家名为 Harmonic 的初创公司开发）来验证这个证明在逻辑上是否自洽。Nat Sothanaphan 是一位软件工程师，也是论坛中唯一比 Bloom、Tao 和 van Doorn 更高产的参与者，他让 ChatGPT 写出了形式化结果并发布到了网上。

Price 开发了一套方法论，用来指导如何让 LLM 解决开放问题。首先，他会让聊天机器人给出一个解。然后，他会把这个解输入到一个全新的聊天机器人实例中，让它检查上一个聊天机器人的工作。他会重复这个过程，直到得到一个看起来可行的解。（这与一些公司内部一直在做的工作相呼应，他们称之为 harness 或 scaffold，用来把 Price 手工完成的这类迭代自动化。）

Barreto 和 Price 的论文只是过去几个月里由 AI 至少部分解决的众多 Erdős 问题中的一小部分。这些问题之所以尤其成为 LLM 如此肥沃的试验场，有多重原因。首要原因是，总的来说，Erdős 问题属于数论、组合数学和图论，而这些数学领域已被证明比其他领域更容易被大语言模型处理。这些问题的难度和数学意义也差异很大。这种差异性使它们适合一项能力同样差异很大的新兴技术。

“我最近的很多论文主要应该归功于 AI，”van Doorn 说。“其中涉及的想法并不是我自己想出来的。”和 Erdős 网站上许多活跃的人一样，van Doorn 对 LLM 让他能够更快地做更多事情感到兴奋。“如果我读到 LLM 提出的一个想法，我会消化它，试着理解它，简化它，并推广它，”他说。他用 AI 来更好地理解数学。

并不是每个人都以这种标准要求自己。“一个大问题是，AI 正被大量非数学家使用，这些人没有深厚的数学背景，也没有能力验证输出，”Bloom 说。“他们喜欢快速推进，让 AI 去检查，然后内容越滚越大。我们看到人们发布的这种 100 到 200 页的论文越来越多。‘我证明了这个定理；我让 AI 生成了证明、检查了证明并写出了论文。’但没有任何人类读过它，也不会有任何人类去读它。这现在是一个巨大的挑战。”

按照 Price 自己的评估，他并没有足够的数学理解能力去验证他最终从 LLM 那里诱导出的解答。但在 Barreto 的帮助下，他得以找到既有足够学识、又愿意核验结果的数学家。Price 和 Barreto 与陶哲轩、斯坦福大学的 Jared Duker Lichtman 以及其他几位卓有成就的数学家共同署名了一篇 2026 年 5 月的论文，解决了 Erdős 第 1196 号问题，这是他们较为重要的成果之一。（第 1196 号问题问的是所谓本原集合——即诸如 {2, 5, 9, 21} 这样其中任何数都不能整除另一个数的整数集合——可能的大小。）

Bloom 感到意外的是，尽管 OpenAI、Google DeepMind 以及多家初创公司都投入了大量关注，大多数新成果却来自使用公开可用 LLM 的业余爱好者和本科生，而非使用更先进内部模型的企业实验室。

但这种情况在几周后发生了变化：2026 年 5 月 20 日，OpenAI 宣布他们解决了所有 Erdős 问题中最著名的问题之一——单位距离问题。

Many Partings

2026 年头几个月，各大科技公司开始从 erdosproblems.com 上看到机会。正如 Lichtman 所解释的：“Erdős 有 1000 多篇论文。它们散落各处。”匈牙利的一家研究所收集了许多论文的扫描图像，但没有人把所有问题汇集起来。“这种任何人都可以访问的单一存储库——实验室意识到，这实际上可以成为一个基准。”

今年 1 月，由 Google DeepMind 领导的一支 24 人研究团队分享了一篇论文，解决了四个问题，并为另外九个问题找到了被遗忘的旧解法，此前他们“使用 Gemini 系统性地评估了 Bloom 的 Erdős Problems 数据库中标注为‘Open’的 700 个猜想”。5 月，另一支由 21 名研究人员组成的 DeepMind 团队宣布，“我们能力最强的智能体自主解决了 353 个未解 Erdős 问题中的 9 个，每个问题的成本仅为几百美元。”（截至本文发表时，Bloom 的数据库包含 565 个已解决的问题和 652 个未解问题，但 DeepMind 团队将搜索范围缩小到了那些已用形式逻辑书写的问题。）

而且，在 5 月 20 日，OpenAI 分享了一个解法，针对的是单位距离问题，同时还发布了一篇博客文章来解释这项工作，以及一篇配套论文，其中九位世界级数学家就该证明的正确性以及所做工作的重要性发表了评论（同时还给出了该结果的一个精简的人类版本）。数学家们此前普遍认为，Erdős 关于平面上能放置多少个等距点的猜想是正确的。令众人意外的是，OpenAI 的内部模型找到了一个反例。为此，它找到了一种巧妙的方法，运用了数学中称为代数数论这一领域的工具。正如多伦多大学的Jacob Tsimerman在配套文章中所写：“这是一项非常令人印象深刻的工作。……这无疑是一个令人生畏的构造。”

在同一篇文章中，剑桥大学和法兰西公学院的Tim Gowers写道：“如果这篇论文是人类撰写的并投稿给《数学年刊》，而有人请我快速给出意见，我会毫不犹豫地建议接收。此前没有任何 AI 生成的证明能接近这个水平。”

那篇给出原始解决方案的论文，作者署名仅为“OpenAI”。

后来，利用与该 AI 模型应用于单位距离问题相关的技术，一个由四人组成的数学家团队——其中包括 Bloom——推翻了另一个长期存在的 Erdős 猜想的一个版本。“和积”猜想提出，如果你有一组数，那么它们的和或它们的积中必有一个快速增长。这些数学家找到了一组实数，其和与积的增长都慢于预期。针对整数的该猜想仍未解决。

要弄清楚 AI 将对数学和数学家产生什么影响，不仅需要关注其最重要的成果，还需要审视它如何改变解决日常问题的日常实践。普林斯顿数学家 Noga Alon 估计，他在职业生涯中解决了几十个 Erdős 问题。他现在已经不再尝试了。“一旦 AI 开始解决它们，就没有意义了，”他说。Terry Tao 已经退出了 Erdős 问题社区，专注于完成自己的工作。

Van Doorn 目前仍在一家客服公司有一份日常工作，他说，大语言模型“在思考和做数学方面显然比我强。我根本比不上当前的 AI 系统。”不过，他补充道，“我最终写出的证明比 ChatGPT 想出来的东西更简单、更通用，也更容易让别人读懂。”AI 无疑提升了他的生产力，而且他仍然乐在其中。“如果你想弹钢琴，你不会去雇一台比你弹得更好的弹琴机器。你会弹钢琴，是因为你喜欢弹钢琴。我喜欢思考数字、做数学、写论文。我不会去雇一台替我写论文的机器。”

对 van Doorn 来说，消化大语言模型给出的回答自有其乐趣。“最近因为 Erdős 问题社区，我做了很多数学。过去我总是一个人包揽一切，独自在房间里苦苦挣扎。我不知道这是怎么发生的，但如今人们会联系我说，‘我有个想法。你想不想和我一起思考这个问题？’”

AI 能力的不断增强，让像 Price 或 van Doorn 这样数学训练较少的人更容易解开这些谜题，同时也让这些谜题对像 Alon 这样毕生致力于理解它们的人来说变得不那么有趣。

尽管如此，“许多、甚至可能是大多数优秀的数学家都会使用 AI，”Alon 说。他指出，不少一流数学家已经离开学术界，前往 AI 公司工作，不仅因为那里薪酬优厚，还因为“也许现在这里才是风口所在”。2026 年 7 月，就在 Tsimerman 被授予菲尔兹奖——数学界最高荣誉——的同一天，他宣布将离开学术界，加入 OpenAI 工作。