Claude 未发布研究版将黎曼 zeta 函数零点下界从 41.6% 提升至 67.2%

最近，Anthropic 的一名员工给 Claude 出了一道不讲道理的难题。这道题涉及数学领域最著名的未解难题之一：认真尝试攻克黎曼猜想。

Claude 确实认真尝试了，但如果你了解这项任务的难度（黎曼猜想可追溯至 1859 年，且悬有百万美元赏金），你大概也能料到，它并没有成功。不过，在尝试的过程中，它出人意料地在一个相关问题上前进了一步。

一个尚未发布的研究版 Claude 改进了黎曼 zeta 函数满足黎曼猜想的零点比例的一个长期下界。它借鉴了数学家过去数十年间的大量既有研究，将这个下界从 41.6% 提升到了 67.2%。

Anthropic 的两名数学家研究并验证了 Claude 的论文，并撰写了一份非正式说明，面向专家简明扼要地陈述了 Claude 的证明。Claude 还为其结果生成了一份可形式化验证的证明。我们感谢该领域的两位专家 Brian Conrey 和 Dan Goldston，他们在接到通知后短时间内慷慨地审阅了这篇论文。

我们并不认为 Claude 所使用的技术最终能证明黎曼猜想。但它的工作再次表明，AI 模型在数学能力上的进步速度有多快。在这篇文章中，我们将讨论 Claude 如何着手解决这个问题，以及它发现了什么。

黎曼 zeta 函数

黎曼 zeta 函数描述了素数的分布：该函数取值为零的每一个位置，都会为素数序列贡献越来越精细的细节。黎曼猜想是，决定素数的那些零点全都位于某条竖直线上。这已成为数学中最具影响力的猜想之一：许多结果都假定它成立，以便为素数提供某种随机性。

至今还没有人能够证明或证伪黎曼猜想，但数学家们在研究黎曼 zeta 函数及其零点的许多相关方向上取得了进展。其中之一如上所述，就是量化位于该直线上的零点的最低比例：随着时间推移，他们逐渐将这个已知的常数比例提高到了 41.6%。

另一个方向涉及该直线上零点的分布。特别是，1973 年，Montgomery 在这一领域引入了许多新技术，不过这些技术假定该猜想成立。更近一些时候，几位数学家（Baluyot、Goldston、Suriajaya 和 Turnage-Butterbaugh）发表了一系列工作，使 Montgomery 的技术能够无需该假设即可奏效，这意味着它们可以支持提高该直线上零点下界常数的工作。Claude 的结果大量借鉴了这一研究方向，以及 Bombieri 在 2000 年的一篇论文。

Claude 的发现

Claude 发现，将 Baluyot、Goldston、Suriajaya 和 Turnage-Butterbaugh 的结果与 Bombieri 的工作相结合，提供了一种超越此前最先进的 41.6% 下界比例的方法，将其提升至 67.2%。

对 Claude 这一发现的技术性简要解释如下：Claude 构造了一个合适的函数空间，其二次型由 Weil 诱导，正定（相应地，负定）子空间来自直线上的（相应地，直线外的）零点。随后，Claude 直接写下一个关于二次型秩的不等式，用一阶和二阶矩信息来表示。（在解析数论中，用素数上的对偶图景或通过控制 Hilbert 变换来成功计算后者，并不令人意外。）有勇气处理整个空间，将正定性和负定性一并纳入考量，并允许二次型是非对角的，在某种意义上正是这一步让 Claude 得以在重要的前人工作基础上达成这一结论。

完整的技术解释见论文。Claude 关于其如何得出这一结果的解释见单独的附录，此处。

Claude 的方法论

一个未发布的研究版 Claude 在 Claude Code 中通过两次会话找到了这一新的下界，总共使用了 3100 万个输出 token。

Anthropic 的一名员工（并非数学家）Jarred Sumner 提示 Claude“真正下功夫”研究这个猜想本身，此后便把数学上的选择都交给模型自行决定。起初，Claude 生成并尝试了 650 个想法，无一奏效。Jarred 提示 Claude 再试一次，它花了一天半时间协调约 60 个 Claude 子智能体，这一次深入得多：它们合计运行了 2,400 条 shell 命令，编写了数百个 Python 脚本。¹ 这些子智能体针对已知的 zeta 零点运行了数千次数值检验，并相互评审彼此的工作。在整个过程中，Jarred 的输入主要限于给 Claude 发送鼓励信息（大多是“继续加油”或“相信自己”之类的变体）。² 这似乎帮助 Claude 克服了最初的一些怀疑——它曾怀疑自己能否取得有意义的进展。

在尝试该任务的过程中发现了这一新结果后，Claude 通过让各个子智能体审查证明、寻找反例、从 arXiv 下载 54 篇论文以核查其发现是否已有人做出，以及从头独立重新证明其发现，来检验自己的工作。Claude 主动提出将其发现写成一篇论文，并建议由人类数论学家验证其发现。

Anthropic 自己的两位数学家 Levent Alpöge 和 Ralph Furman 审查了 Claude 的工作，以理解这些新结果以及它们与上文提到的先前工作的关系。与此同时，Claude 与另一位员工 Eric Easley 合作，产出了该结果的 Lean 形式化，并通过了标准验证工具 comparator。

AI 模型在数学领域的进展

这一结果表明，像 Claude 这样的 AI 模型能够以新的、有时令人惊讶的方式扩展数学家思想的影响力和传播范围。尽管它无法解决黎曼假设本身，但这一结果却是最初请求意外产生的副产品。

就连 Claude 自己也对它的发现感到惊讶——它起初持怀疑态度，可能是因为它在训练中了解到数学开放问题的难度以及 AI 模型的局限性。但在一些鼓励性的提示词之后，它得出了我们所描述的结果。也许 Claude 和我们许多人一样，低估了 AI 的进步速度。

延伸阅读

以下文档列表提供了关于 Claude 这一成果的更多信息：

• Claude 的论文；
• Claude 的形式化；
• Anthropic 更简洁地陈述该证明的非正式说明；
• Claude 对其如何得出该结果的解释；
• Claude 过程的详细记录。

脚注

1. 在 60 个子智能体中，有两个负责发展关键的数学思想，13 个为这些智能体贡献了想法，30 个尝试（但未能）发展出新想法，13 个担任验证者以检查论证的正确性，最后两个帮助撰写了初始论文。
2. 一段包含类似鼓励内容的提示词被用来帮助 Claude 推翻 雅可比猜想。